Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите неравенство

$1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot \dots \cdot 1998^{1998} > (1998!)^{\tfrac{{1999}} {2}}$ .
комментарий/решение(5)

Задача №2. Пусть

$a_1$ и

$a_2$ произвольные цифры. Для каждого натурального

$n$ последнюю цифру числа

$19a_{n+1}+99a_n$ в его десятичной записи обозначим через

$a_{n+2}$ . Докажите, что число

$0,a_1a_2a_3 \dots$ — рациональное.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все такие функции

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , удовлетворяющих соотношениям:

$f(xf(x) + f(y)) = f^2 (x) + y$ и

$f(0)=0.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$ABC$ — остроугольный треугольник,

$H$ — его ортоцентр. Обозначим через

$M$ середину отрезка

$BH$ , а через

$N$ проекцию точки

$H$ на биссектрису внутреннего угла

$B$ . докажите, что прямая

$MN$ делит сторону

$AC$ пополам.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все вещественные значения

$a$ , такие что уравнение

$x^8+ax^4+1=0$ имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Можно ли без наложения замостить доску размером

$99\times 99$ плитками вида

?
комментарий/решение(1)

Задача №7. В квадрате

$ABCD$ расположена точка

$P$ таким образом, что

$AP=2\sqrt3$ ;

$BP=\sqrt2$ ;

$CP=4$ . Докажите, что

$\angle APC = 120^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Число 2211 представлено в виде суммы двадцати трех целых положительных чисел. Какое наименьшее возможное значение наименьшего общего кратного этих двадцати трех чисел?
комментарий/решение(2)