Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс
Найдите все вещественные значения a, такие что уравнение x8+ax4+1=0 имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:82/81
Заметим что x4=(−a±√a2−4)/2, если a>0, то это уравнение имеет только 2 решение. Заменим a вместо −a.Тогда это 4 корня по уменьшению: 4√(a+√a2−4)/2,4√(a−√a2−4)/2,−4√(a−√a2−4)/2,−4√(a+√a2−4)/2. Если это арифметическая прогрессия:4√(a+√a2−4)/2−4√(a−√a2−4)/2=24√(a−√a2−4)/2. Это уравнение решается легко, и решение a=±82/81
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.