Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Найдите все вещественные значения $a$, такие что уравнение $x^8+ax^4+1=0$ имеет четыре корня, образующие арифметическую прогрессию.

Комментарий/решение

$Ответ: 82/81$

Заметим что $x^4=(-a \pm \sqrt{a^2-4})/2$, если $a>0$, то это уравнение имеет только 2 решение. Заменим $a$ вместо $-a$.Тогда это 4 корня по уменьшению: $\sqrt[4]{(a+ \sqrt{a^2-4})/2},\sqrt[4]{(a- \sqrt{a^2-4})/2},-\sqrt[4]{(a- \sqrt{a^2-4})/2},-\sqrt[4]{(a+ \sqrt{a^2-4})/2}$. Если это арифметическая прогрессия:$ \sqrt[4]{(a+ \sqrt{a^2-4})/2}-\sqrt[4]{(a- \sqrt{a^2-4})/2}=2 \sqrt[4]{(a- \sqrt{a^2-4})/2}$. Это уравнение решается легко, и решение $a=\pm 82/81$