Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Можно ли без наложения замостить доску размером $99\times 99$ плитками вида и ?

Комментарий/решение

Предположим. что требуемое замощение возможно.

Каждая фигурка состоит из двух клеток и двух полуклеток, представляющих собой прямоугольные треугольники, прямой угол которых совпадает с прямым углом одной из клеток доски. В зависимости от расположения полуклетки она может закрывать верхний левый, нижний левый, верхний правый или нижний правый угол клетке, соответственно будем называть полуклетку полуклеткой верхнего левого, нижнего левого, верхнего правого и нижнего правого типа. У каждой фигурки из условия обе полуклетки одного типа.

Отметим, что полуклетка левого верхнего типа покрывает часть клетки доски, то вторая часть этой клетки должна быть покрыта полуклеткой правого нижнего типа и наоборот. Аналогично, если полуклетка правого верхнего типа покрывает часть клетки доски, то вторая часть этой клетки должна быть покрыта полуклеткой левого нижнего типа и наоборот. Таким образом, если у нас есть k фигурок с полуклетками, скажем, левого нижнего типа, то их полуклетки располагаются в 2k клетках доски, значит необходимо 2k/2=k полуклеток правого верхнего типа. Аналогично, если m фигурок имеют полуклетки левого верхнего типа, то количество фигурок с полуклетками правого нижнего типа также равно m. Таким образом, общее количество фигурок должно быть равно 2k+2m, то есть оно должно быть четным. С другой стороны, фигурки замощения имеют площадь 3. Следовательно, общее количество фигурок равно 99*99/3=3267, то есть является нечетным числом. Полученное противоречие показывает невозможность замощения доски указанными фигурками.