Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс
Докажите неравенство 11⋅22⋅33⋅⋯⋅19981998>(1998!)19992.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
По неравенству между средним геометрическим и средним гармоническим, имеем: 11⋅22⋅33⋅…⋅19981998>(1+2+…+199811+2⋅12+…+1998⋅11998)1+2+…+1998=(19992)1999⋅19982 По неравенству между средним арифметическим и геометрическим: (19992)1998=(1+2+…+19981998)1998>1⋅2⋅…⋅1998=1998! Это неравенство эквивалентно: (19992)1999⋅19982>(1998!)19992 Из этих двух неравенств получаем требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.