Западно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год

Задача №1. Пусть

$x,y$ положительные действительные числа. Найдите наименьшее значение выражения

$x+y+\frac{|x-1|}{y}+\frac{|y-1|}{x}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Пусть

$AB$ — диаметр полуокружности с центром

$O$ ,

$C, D$ дуги

$AB$ , и

$P, Q$ — центы описанных окружностей

$\triangle OAC$ и

$\triangle OBD$ соответственно. Докажите, равенство

$CP\cdot CQ=DP \cdot DQ$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть

$A_1,A_2, \ldots$ последовательность множеств таких, что для любого натурального

$i$ существует лишь конечное число значений

$j$ таких, что

$A_j\subseteq A_i$ . Докажите, что существует последовательность натуральных чисел

$a_1,a_2, \ldots$ таких, что для любой пары

$(i,j)$ выполнено:

$a_i\mid a_j$ тогда, и только тогда, когда

$A_i\subseteq A_j$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дано натуральное число

$n$ , и пусть

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ — последовательность неотрицательных целых чисел. Последовательность

$a_1,a_2, \ldots,a_n$ состоящая из одного или нескольких членов называется драконьим, если их арифметическая средняя больше единицы. Если последовательность является драконьим, то его первый член называется головой, а последний — хвостом. Пусть

$a_1,a_2, \ldots,a_n$ являются либо головой или(и) хвостом некоторой драконьей последовательности. Найдите наименьшее значение суммы

$a_1+a_2+\cdots +a_n$ (как функцию относительно

$n$ ).
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дано натуральное число

$m$ . Докажите, что существуют натуральные числа

$n_0$ такие, что все первые цифры (в десятичной записи) числа

$\sqrt{n^2+817n+m}$ после запятой равны, для всех

$n>n_0$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пусть

$n\ge 2$ — натуральное число,

$x_1,x_2,\ldots,x_n$ — действительные числа такие, что
1)

$x_1+x_2+\ldots+x_n=0$ ,
2)

$|x_i|\le 1$

$(i=1,2,\ldots,n)$ .
Найдите наибольшее возможное значение наименьшего из чисел

$\{|x_1-x_2|,|x_2-x_3|,\ldots,|x_{n-1}-x_n|\}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. На плоскости дан правильный треугольник

$ABC$ , точка

$O$ — его центр. Точки

$P,Q$ лежат на плоскости так, что

$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{PO}$ . Докажите неравенство

$|PA|+|PB|+|PC|\le |QA|+|QB|+|QC|.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. Given a real number

$q$ ,

$1 < q < 2$ define a sequence

$\{x_n\}$ as follows: for any positive integer

$n$ , let

$x_n=a_0+a_1 \cdot 2+ a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_k \cdot 2^k \qquad (a_i \in \{0,1\}, i = 0,1, \cdots m k)$ be its binary representation, define

$x_k= a_0 +a_1 \cdot q + a_2 \cdot q^2 + \cdots +a_k \cdot q^k.$ Prove that for any positive integer

$n$ , there exists a positive integer

$m$ such that

$x_n < x_m \leq x_n+1$ .
комментарий/решение(2)