қазақша
русскийЗападно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год
Задача №1. Пусть $x,y$ положительные действительные числа. Найдите наименьшее значение выражения $x+y+\frac{|x-1|}{y}+\frac{|y-1|}{x}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть $AB$ — диаметр полуокружности с центром $O$, $C, D $ дуги $AB$, и $P, Q$ — центы описанных окружностей $\triangle OAC $ и $\triangle OBD$ соответственно. Докажите, равенство $CP\cdot CQ=DP \cdot DQ$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $A_1,A_2, \ldots$ последовательность множеств таких, что для любого натурального $i$ существует лишь конечное число значений $j$ таких, что $A_j\subseteq A_i$. Докажите, что существует последовательность натуральных чисел $a_1,a_2, \ldots$ таких, что для любой пары $(i,j)$ выполнено: $a_i\mid a_j$ тогда, и только тогда, когда $A_i\subseteq A_j$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано натуральное число $n$, и пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$ — последовательность неотрицательных целых чисел. Последовательность $a_1,a_2, \ldots,a_n$ состоящая из одного или нескольких членов называется драконьим, если их арифметическая средняя больше единицы. Если последовательность является драконьим, то его первый член называется головой, а последний — хвостом. Пусть $a_1,a_2, \ldots,a_n$ являются либо головой или(и) хвостом некоторой драконьей последовательности. Найдите наименьшее значение суммы $a_1+a_2+\cdots +a_n$ (как функцию относительно $n$).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дано натуральное число $m$. Докажите, что существуют натуральные числа $n_0$ такие, что все первые цифры (в десятичной записи) числа $\sqrt{n^2+817n+m}$ после запятой равны, для всех $n>n_0$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть $n\ge 2$ — натуральное число, $x_1,x_2,\ldots,x_n $ — действительные числа такие, что
1) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=0 $,
2) $ |x_i|\le 1$ $(i=1,2,\ldots,n)$.
Найдите наибольшее возможное значение наименьшего из чисел $\{|x_1-x_2|,|x_2-x_3|,\ldots,|x_{n-1}-x_n|\}$.
комментарий/решение(1)
1) $ x_1+x_2+\ldots+x_n=0 $,
2) $ |x_i|\le 1$ $(i=1,2,\ldots,n)$.
Найдите наибольшее возможное значение наименьшего из чисел $\{|x_1-x_2|,|x_2-x_3|,\ldots,|x_{n-1}-x_n|\}$.
комментарий/решение(1)
Задача №7. На плоскости дан правильный треугольник $ABC$, точка $O$ — его центр. Точки $P,Q$ лежат на плоскости так, что $\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{PO}$. Докажите неравенство $|PA|+|PB|+|PC|\le |QA|+|QB|+|QC|.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Given a real number $q$, $1 < q < 2$ define a sequence $ \{x_n\}$ as follows:
for any positive integer $n$, let
\[x_n=a_0+a_1 \cdot 2+ a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_k \cdot 2^k \qquad (a_i \in \{0,1\}, i = 0,1, \cdots m k)\]
be its binary representation, define
\[x_k= a_0 +a_1 \cdot q + a_2 \cdot q^2 + \cdots +a_k \cdot q^k.\]
Prove that for any positive integer $n$, there exists a positive integer $m$ such that $x_n < x_m \leq x_n+1$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)