Западно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год

Дано натуральное число $m$. Докажите, что существуют натуральные числа $n_0$ такие, что все первые цифры (в десятичной записи) числа $\sqrt{n^2+817n+m}$ после запятой равны, для всех $n>n_0$.

Комментарий/решение

Для достаточно больших $n$, число будет постоянно иметь 4 или 5 как первую цифру после запятой (в зависимости от $m$). Попробуйте зажать $\sqrt{n^2+817n+m}$ между $(n+408)+0.4$ и $(n+408)+0.5$, а потом между $(n+408)+0.5$ и $(n+408)+0.6$.