Западно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год

Пусть $x,y$ положительные действительные числа. Найдите наименьшее значение выражения $x+y+\frac{|x-1|}{y}+\frac{|y-1|}{x}$.

Комментарий/решение

$Ответ$: $x,y=1$; $min=2$

Подставим 1 под значения; докажем что все случаи будут больше 2.Есть три случая(на самом деле 4):

$i)$ $x,y>1$ $\rightarrow >2$

$ii)$ $x,y<1$ $\rightarrow$ вместо $|x-1|$ и $|y-1|$ подставим $1-x$ и $1-y$ и все значение слева и справа умножим на $xy$.Остается доказать что значение больше $2xy$; отнимаем $2xy$ у обеих сторон; выражение является $(1-x)(1-y)(x+y)$ что $>0$.

$iii)$ $x<1; y>1$ или наоборот.

Делаем так же как и в втором случае и у нас получается $(1-x)(y-1)(y-x)$ что $>0$

на самом деле тут есть всякие моменты с $\geq$ и $\leq$; был бы рад если бы вы исправили меня.

$UPD:$

Подпункты:

Случаи под ($x=1;y>1$); ($x=1;y<1$) и наоборот $\rightarrow$ тривиальны, и тоже будут больше 2. Соответсвенно другого ответа быть не может.