Processing math: 73%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2014 год


Пусть AB — диаметр полуокружности с центром O, C,D дуги AB, и P,Q — центы описанных окружностей OAC и OBD соответственно. Докажите, равенство CPCQ=DPDQ.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
3 года 11 месяца назад #

  1
28 дней 21 часов назад #

Пусть AOC=2a,BOD=2b,APD=a1,BQC=a2

Утверждение 1: APBQ=ADBC

Доказательство:

APO:APsina=AOsin2a;BQO:BQsinb=BOsin2bAPBQ=cosbcosa

\triangle ABD: \frac{AD}{\cos b} = \frac{AB}{\sin 90°} \: ; \: \triangle ABC: \frac{CB}{\cos a} = \frac{AB}{\sin 90°} \Rightarrow \frac{AD}{CB} = \frac{\cos b}{\cos a} = \frac{AP}{BQ}.

Утверждение 2: \triangle APD \sim \triangle BQC

Доказательство:

\triangle APD: \frac{AP}{\sin b-a-a_1} = \frac{AD}{\sin a_1} \: ; \: \triangle BQC: \frac{QB}{\sin b-a-a_2} = \frac{CB}{\sin a_2} \Rightarrow \frac{\sin b-a-a_2}{\sin b-a-a_1} = \frac{\sin a_2}{\sin a_1} = \frac{\sin (b-a) \cdot \cos a_2 - \cos (b-a) \cdot \sin a_2}{\sin (b-a) \cdot \cos a_1 - \cos (b-a) \cdot \sin a_1} \Rightarrow \frac{\sin (b-a) \cdot \cos a_1 - \cos (b-a) \cdot \sin a_1}{\sin a_1} = \frac{\sin (b-a) \cdot \cos a_2 - \cos (b-a) \cdot \sin a_2}{\sin a_2} \Rightarrow \cot a_1 = \cot a_2 \Rightarrow a_1 = a_2 \Rightarrow \triangle APD \sim \triangle BQC

\triangle APD \sim \triangle BQC \Rightarrow \frac{AP}{BQ} = \frac{PD}{QC} = \frac{CP}{QD} \Rightarrow CP\cdot CQ=DP \cdot DQ. \square