Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год

Задача №1.  Последовательность действительных чисел $\{a_{n}\}$ определена следующим образом: $a_{0}\neq 0,1$, $a_1=1-a_0$,$a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)$, $n=1,2, \ldots$. Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{0}a_{1} \ldots a_{n}(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+ \ldots +\frac{1}{a_n})=1.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В треугольнике $ABC$, $AB=AC$, вписанная окружность $I$ касается $BC, CA, AB$ в точках $D,E$ и $F$, соответственно. Точка $P$ лежит на дуге $EF$, не содержащей точку $D$. Прямая $BP$ пересекает окружность $I$ во второй раз в точке $Q$, прямые $EP$, $EQ$ пересекают $BC$ в $M, N$, соответственно. Докажите, что
(1) $P, F, B, M$ лежат на одной окружности
(2) $\frac{EM}{EN} = \frac{BD}{BP}$
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Даны натуральные $m\geq$ 2 и $a_1,a_2, \ldots a_m$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что $a_{1}1^{n} + a_{2}2^{n} + \ldots + a_{m}m^{n}$ — составное.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Дано целое $m\geq 2$ и действительные $a,b$ ($a > 0$ и $b\neq 0$). Последовательность $\{x_n\}$ такова, что $x_1 = b$ и $x_{n + 1} = ax^{m}_{n} + b$, $n = 1,2, \ldots$. Докажите, что
(1) при $b < 0$ и четном $m$, последовательность ограничена тогда и только тогда, когда $ab^{m - 1}\geq - 2$;
(2) при $b < 0$ и нечетном $m$, или при $b > 0$ последовательность ограничена тогда и только тогда, когда $ab^{m - 1}\geq\frac {(m - 1)^{m - 1}}{m^m}$.
комментарий/решение

---

Задача №5.  Четыре лягушки сидят в четырех точках на прямой так, что расстояние между любыми двумя соседними лягушками равно 1. Каждая лягушка может прыгнуть в точку, симметричную своему текущему положению относительно любой из трех других лягушек. Докажите, что после любого количества прыжков не может получиться так, что расстояние между любыми двумя соседними лягушками равно 2008.
комментарий/решение

---

Задача №6.  Даны $x,y,z\in (0,1)$ такие, что $\sqrt{\frac{1 - x}{yz}} + \sqrt{\frac{1 - y}{xz}} + \sqrt{\frac{1 - z}{xy}} = 2$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $xyz$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №7.  Для данного натурального $n$, найдите наибольшее натуральное $k$ такое, что существуют три множества, содержащих по $k$ различных неотрицательных целых чисел, $A=\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}, B=\{y_1,y_2,\ldots,y_k\}$ и $C=\{z_1,z_2,\ldots,z_k\}$, причем $x_j+y_j+z_j=n$ для всех $1\leq j\leq k$.
комментарий/решение

---

Задача №8.  Внутри правильного $n$-угольника $A_1 A_2 \ldots A_n$ выбрана точка $P$, прямая $A_i P$ пересекает $n$-угольник во второй раз в точке $B_i$, где $i=1,2, \ldots ,n$. Докажите, сумма длин отрезков $PA_i$ не меньше суммы длин отрезков $PB_i$.
комментарий/решение

---