Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год

Даны $x,y,z\in (0,1)$ такие, что $\sqrt{\frac{1 - x}{yz}} + \sqrt{\frac{1 - y}{xz}} + \sqrt{\frac{1 - z}{xy}} = 2$. Найдите наибольшее возможное значение выражения $xyz$.

Комментарий/решение

Коши теңсіздігінен:

$2= \sum \sqrt{\frac{1 - x}{yz}}=\sum \frac{\sqrt{x(3-3x)}}{\sqrt{3xyz}}\le \sum \frac{x+(3-3x)}{2\sqrt{3xyz}}=\sum \frac{9-2(x+y+z)}{2\sqrt{3xyz}}\le \sum \frac{9-6\sqrt[3]{xyz}}{2\sqrt{3xyz}}$

$\Rightarrow 9\ge 4\sqrt{3xyz}+6\sqrt[3]{xyz}$.

Коши теңсіздігінен:$\ \ 2\sqrt{3xyz}+2\sqrt{3xyz}+\frac{9}{4}\ge 9\sqrt[3]{xyz}$

Демек,

$9+\frac{9}{2}\ge (4\sqrt{3xyz}+\frac{9}{2})+6\sqrt[3]{xyz} \ge 15\sqrt[3]{xyz}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{xyz}\le \frac{3}{4}, \ \ xyz\le \frac{27}{64}$

Теңдік жағдайы: $x=y=z=\frac{3}{4}$

Обычно, в таких задачах максимум или минимум достигает тогда когда $x=y=z$, попробуем подставить это под условие и получим что $x= \frac{3}{4}$, значит все $AM \geq GM$ы которые мы будем использовать должны иметь равные члены при этом значении.

Давайте попробуем умножить с обеих сторон на $\sqrt{xyz}$, мы получим $$\sum \sqrt{(1-x)x} =2\sqrt{xyz}$$

Теперь как-то попробуем увеличить $\sqrt{(1-x)x}$, в голову приходит взять это как $GM$ и выразить $AM$, но, если мы просто в сухую возьмём члены $a_1=x$ и $a_2=1-x$, равенство не выполнится, по этому можно понять что нужно умножить слева и справа на $\sqrt{3}$ и выполнить $$\frac{3(1-x)+x}{2} \geq \sqrt{3(1-x)x}$$ , получим что $$4,5 \geq x+y+z+2*\sqrt{3}*\sqrt{xyz}$$

Или же $$\frac{9}{2} \geq 3\sqrt[3]{xyz}+2*\sqrt{3}*\sqrt{xyz}$$

Мы понимаем что минимум выражения $xyz$ равен $\frac{27}{64}$, мы просто доказываем это, осталось доказать что из выражения сверху это так и есть. Для удобства возьмём $A= \sqrt[6]{xyz}$, и сделаем справа ещё раз $AM \geq GM$, получим что $$\frac{3}{2} \geq A$$

то есть $$\frac{27}{64} \geq A^6=xyz$$

Так же можно доказать иным способом:

$$\frac{4}{\sqrt{3}}A^3+2A^2-3 \leq 0$$

Логично понятно что корнем этого выражения является наш максимум под корнем шестой степени, так что факторизуем выражение и получим $$(A^2+\sqrt{3}A+\frac{3}{2})(A-\frac{\sqrt{3}}{2}) \leq 0$$

Заметим что слева скобка в многочлене не имеет корней, значит справа должно быть отрицательное значение, то есть максимум для $A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\boxed{max(xyz)= \frac{27}{64}}$