Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год
В треугольнике ABC, AB=AC, вписанная окружность I касается BC,CA,AB в точках D,E и F, соответственно. Точка P лежит на дуге EF, не содержащей точку D. Прямая BP пересекает окружность I во второй раз в точке Q, прямые EP, EQ пересекают BC в M,N, соответственно. Докажите, что
(1) P,F,B,M лежат на одной окружности
(2) EMEN=BDBP
посмотреть в олимпиаде
(1) P,F,B,M лежат на одной окружности
(2) EMEN=BDBP
Комментарий/решение:
EF||BC. QFPD - гармонический четырехугольник (BF,BD - касательные, BQP - секущая).
(1)
(Q,F;P,D)E=(N,∞;M,D)⇒ND=DM Тем самым серединные перпендикуляры к MN,EF - совпадают, то есть F,E,M,N - лежат на одной окружности. Поэтому F - точка Микеля прямых MB,BQ,QE,EM (F∈(NEM),F∈(QPE)). Тогда F∈PBM.
Ну или простым счетом:
∠FPM=∠BFD+∠DEC=90−∠DBF/2+90−∠DCE/2=180−∠FBM
(2)
∠NEM=∠QFP,∠ENM=∠NEF=∠FPQ⇒△NEM∼△PFQ
∠BFQ=∠BPF,∠FBP=∠FBQ⇒△FBQ∼△PBF
EMEN=FQFP=BFBP=BDBP
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.