Processing math: 100%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год


В треугольнике ABC, AB=AC, вписанная окружность I касается BC,CA,AB в точках D,E и F, соответственно. Точка P лежит на дуге EF, не содержащей точку D. Прямая BP пересекает окружность I во второй раз в точке Q, прямые EP, EQ пересекают BC в M,N, соответственно. Докажите, что
(1) P,F,B,M лежат на одной окружности
(2) EMEN=BDBP
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 9 месяца назад #

EF||BC. QFPD - гармонический четырехугольник (BF,BD - касательные, BQP - секущая).

(1)

(Q,F;P,D)E=(N,;M,D)ND=DM Тем самым серединные перпендикуляры к MN,EF - совпадают, то есть F,E,M,N - лежат на одной окружности. Поэтому F - точка Микеля прямых MB,BQ,QE,EM (F(NEM),F(QPE)). Тогда FPBM.

Ну или простым счетом:

FPM=BFD+DEC=90DBF/2+90DCE/2=180FBM

(2)

NEM=QFP,ENM=NEF=FPQNEMPFQ

BFQ=BPF,FBP=FBQFBQPBF

EMEN=FQFP=BFBP=BDBP