Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год

В треугольнике $ ABC$, $ AB=AC$, вписанная окружность $ I$ касается $ BC, CA, AB$ в точках $ D,E$ и $ F$, соответственно. Точка $ P$ лежит на дуге $ EF$, не содержащей точку $ D$. Прямая $ BP$ пересекает окружность $ I$ во второй раз в точке $ Q$, прямые $ EP$, $ EQ$ пересекают $ BC$ в $ M, N$, соответственно. Докажите, что
(1) $ P, F, B, M$ лежат на одной окружности
(2) $ \frac{EM}{EN} = \frac{BD}{BP}$

Комментарий/решение

$EF||BC$. $QFPD$ - гармонический четырехугольник ($BF,BD$ - касательные, $BQP$ - секущая).

$(1)$

$$(Q,F;P,D) \stackrel{E}{=} (N,\infty;M,D) \Rightarrow ND=DM$$ Тем самым серединные перпендикуляры к $MN,EF$ - совпадают, то есть $F,E,M,N$ - лежат на одной окружности. Поэтому $F$ - точка Микеля прямых $MB,BQ,QE,EM$ ($F \in (NEM), F \in (QPE)$). Тогда $F \in PBM$.

Ну или простым счетом:

$$\angle FPM = \angle BFD + \angle DEC=90-\angle DBF/2+90-\angle DCE/2=180-\angle FBM$$

$(2)$

$$\angle NEM = \angle QFP, \angle ENM = \angle NEF = \angle FPQ \Rightarrow \triangle NEM \sim \triangle PFQ$$

$$\angle BFQ = \angle BPF, \angle FBP=\angle FBQ \Rightarrow \triangle FBQ \sim \triangle PBF$$

$$\frac{EM}{EN}=\frac{FQ}{FP}=\frac{BF}{BP}=\frac{BD}{BP}$$