Processing math: 100%

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год


Последовательность действительных чисел {an} определена следующим образом: a00,1, a1=1a0,an+1=1an(1an), n=1,2,. Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство a0a1an(1a0+1a1++1an)=1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 2 месяца назад #

a0a1...an(1a0+...+1an1+1an)=a0...an1an(1a0+...+1an1)+a0...an(1an)=an+a0...an1?=1

По индукции an=1n1i=0ai:

База n=1,2 очевидно.

Предположение, для n=k это верно.

Шаг n=k+1:

ak+1=1ak(1ak)=1ak(1(1ak1...a0))=1a0...ak1ak.

Это завершает доказательство.