Западно-Китайская математическая олимпиада, 2008 год

Последовательность действительных чисел $\{a_{n}\}$ определена следующим образом: $a_{0}\neq 0,1$, $a_1=1-a_0$,$a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)$, $n=1,2, \ldots$. Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{0}a_{1} \ldots a_{n}(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+ \ldots +\frac{1}{a_n})=1.$

Комментарий/решение

$$a_0a_1...a_n(\frac{1}{a_0}+...+\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_n})=a_0...a_{n-1}a_n(\frac{1}{a_0}+...+\frac{1}{a_{n-1}})+a_0...a_n(\frac{1}{a_n})=a_n+a_0...a_{n-1} \stackrel {?}{=} 1$$

По индукции $a_n=1-\prod \limits_{i=0}^{n-1} {a_i}$:

База $n=1,2$ очевидно.

Предположение, для $n=k$ это верно.

Шаг $n=k+1$:

$$a_{k+1}=1-a_k(1-a_k)=1-a_k(1-(1-a_{k-1}...a_{0}))=1-a_0...a_{k-1}a_{k}.$$

Это завершает доказательство.