Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год

Задача №1. Найдите все целые

$n$ для которых число

$N= n^4 + 6n^3 + 11n^2 +3n+31$ является полным квадратом.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ .

$I_1$ и

$I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников

$ABC$ и

$DBC$ , соответственно. Прямая

$I_1I_2$ пересекает прямые

$AB$ и

$DC$ в точках

$E$ и

$F$ , соответственно. Прямые

$AB$ и

$CD$ пересекаются в точке

$P$ . Известно, что

$PE=PF$ . Докажите, что

$ABCD$ — вписанный.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все действительные

$k$ такие, что неравенство

$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 1\geq k(a + b + c + d)$ выполняется для всех

$a,b,c,d\geq - 1$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Через

$d(n)$ будем обозначать количество делителей натурального числа

$n$ , а через

$\varphi(n)$ — функцию Эйлера (количество натуральных чисел, меньших и взаимно простых с

$n$ ). Найдите все целые неотрицательные числа

$c$ , для которых существует натуральное

$n$ такое, что

$d(n) + \varphi(n) = n+c$ , и для каждого такого

$c$ найдите все значения

$n$ , удовлетворяющие этому условию.
комментарий/решение

Задача №5. Последовательность

$\{a_n\}_{n}$ задана следующим образом:

$a_1=a_2=1$ и

$a_{n+2} = \frac 1{a_{n+1}} + a_n$ для всех натуральных

$n$ . Найдите

$a_{2004}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Все поля доски

$m\times n$ (

$m,n\geq 3$ ) покрашены в красный и синий цвета. Два соседних по стороне поля называются "хорошей парой", если они имеют различные цвета. Предположим, что всего есть

$S$ хороших пар. Объясните, как узнать четность

$S$ . Определяется ли она цветами каких-то конкретных полей?
комментарий/решение

Задача №7. Пусть

$\ell$ — периметр неправильного остроугольного треугольника

$ABC$ . Внутри треугольника

$ABC$ дана точка

$P$ . Пусть

$D,E,F$ — проекции

$P$ на стороны

$BC,CA,AB$ , соответственно. Докажите, что

$2(AF+BD+CE ) = \ell$ тогда и только тогда, когда

$P$ лежит на прямой, содержащей центры вписанной и описанной окружностей треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение

Задача №8. Для положительных чисел

$a,b,c$ докажите неравенство:

$1 < \frac {a}{\sqrt {a^{2} + b^{2}}} + \frac {b}{\sqrt {b^{2} + c^{2}}} + \frac {c}{\sqrt {c^{2} + a^{2}}}\leq\frac {3\sqrt {2}}{2}.$
комментарий/решение(3)