Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год

Найдите все целые $ n$ для которых число $ N= n^4 + 6n^3 + 11n^2 +3n+31$ является полным квадратом.

Комментарий/решение

Запишем Уравнение как $A$

Заметим что это уравнение это просто: $$(n^2+3n+1)^2-3n+30$$

Для $n \leq 2$ уравнение невозможно, значит $n \geq 3$.

Можно заметить что : $$(n^2+3n)^2 \leq A \leq (n^2+3n+2)$$

соответсвеннo $A=(n^2+3n+1)^2$; $30-3n=0$ $\rightarrow$ $n=10$