Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $DBC$, соответственно. Прямая $I_1I_2$ пересекает прямые $AB$ и $DC$ в точках $E$ и $F$, соответственно. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $PE=PF$. Докажите, что $ABCD$ — вписанный.

Комментарий/решение

$$\angle PEF=\angle PFE=90^\circ-\angle EPF=\angle PBI_1+\angle PCI_2\Rightarrow \angle EI_1B=\angle PEF-\angle PBI_1=\angle PCI_2=\angle BCI_2,$$

поэтому $B,C,I_2,I_1$ лежат на одной окружности.

$$90^\circ+\angle BAC=\angle BI_1C=\angle BI_2C=90^\circ+\angle BDC\Leftrightarrow \angle BAC=\angle BDC,$$

что и надо было.