Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год

Дан выпуклый четырехугольник $ ABCD$. $ I_1$ и $ I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $ ABC$ и $ DBC$, соответственно. Прямая $ I_1I_2$ пересекает прямые $ AB$ и $ DC$ в точках $ E$ и $ F$, соответственно. Прямые $ AB$ и $ CD$ пересекаются в точке $ P$. Известно, что $ PE=PF$. Докажите, что $ ABCD$ — вписанный.

Комментарий/решение

$$\angle PEF=\angle PFE=90^\circ-\angle EPF=\angle PBI_1+\angle PCI_2\Rightarrow \angle EI_1B=\angle PEF-\angle PBI_1=\angle PCI_2=\angle BCI_2,$$

поэтому $B,C,I_2,I_1$ лежат на одной окружности.

$$90^\circ+\angle BAC=\angle BI_1C=\angle BI_2C=90^\circ+\angle BDC\Leftrightarrow \angle BAC=\angle BDC,$$

что и надо было.