Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год

Все поля доски $m\times n$ ($m,n\geq 3$) покрашены в красный и синий цвета. Два соседних по стороне поля называются "хорошей парой", если они имеют различные цвета. Предположим, что всего есть $S$ хороших пар. Объясните, как узнать четность $S$. Определяется ли она цветами каких-то конкретных полей?