Западно-Китайская математическая олимпиада, 2004 год
Последовательность {an}n задана следующим образом: a1=a2=1 и an+2=1an+1+an для всех натуральных n. Найдите a2004.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
⇒an+2an+1−an+1an=1
yn=an+1an,yn+1−yn=1y1=1
yn=y1+(n−1)⋅1=n
a2a1=1,a3a2=2,a4a3=3,a5a4=4...,a2003a2002=2002,a2004a2003=2003
a2a3⋅a4a5⋅a6a7⋅....⋅a2002a2003=2⋅4⋅6⋅...⋅2002
a1a2⋅a3a4⋅a5a6⋅....⋅a2003a2004=1⋅3⋅5⋅...⋅2003
a2004=a1a2⋅a3a4⋅a5a6⋅....⋅a2003a2004a2a3⋅a4a5⋅a6a7⋅....⋅a2002a2003=
=1⋅3⋅5⋅...⋅20032⋅4⋅6⋅...⋅2002
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.