Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2017 жыл

Есеп №1.

$f$ және

$g$ функциялары

$[-100;100]$ аралығындағы барлық бүтін сандарында анықталған және бүтін мәндерді қабылдайды. Қандай да бір бүтін

$k$ үшін,

$f\left( x \right)-g\left( y \right)=k$ теңдеуінің шешім саны тақ екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2. Іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$AC$ және

$BD$ диагональдары тік бұрыш жасап,

$P$ нүктесінде қылысады.

$AP=QC$ болатындай,

$PC$ кесіндісінде

$Q$ нүктесі алынды.

$BQD$ үшбұрышының периметрі

$2AC$ -дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Тік бұрышты үшбұрыштың барлық қабырғалары рационал, ал ауданы

$S$ -ке тең. Алғашқы үшбұрышқа тең емес тік бұрышты, барлық қабырғалары рационал және ауданы

$S$ -ке тең үшбұрыш бар екенін дәлелдеңіз. ( S. Chan )
комментарий/решение

Есеп №4. Өз түсі бар 25 маска бар.

$k$ данышпан ойын ойнайды: алғашында оларға барлық маскалар көрсетіледі және олар өз араларында ақылдасады, кейін данышпандарға, әрқайсысы қалған данышпандардың маскаларын көре алатындай (алайда маскалар кімге кигізілгені белгісіз) және әр данышпан өзіне кигізілген масканы көре алмайтындай осы маскалар данышпандарға кигізіледі. Ешқандай әрекеттесу түрі рұқсат етілмейді. Данышпандардың барлығы бір мезгілде, әрқайсысы өз маскасының түсін анықтау үшін бір түсті атайды.

$k$ -ның қандай ең кіші мәнінде, кем дегенде бір данышпан өзінің маскасының түсін дұрыс атауы үшін, данышпандар алдын ала ақылдаса алады. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №5. Екі коэффициенті бүтін,

$f\left( 1/2017 \right)=1/2018$ және

$f\left( 1/2018 \right)=1/2017$ болатындай

$f\left( x \right)$ квадрат үшмүше табылады ма? ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$\sigma \left( n \right)$ арқылы

$n$ санының натурал бөлгіштер қосындысын атайық.

$r$ және

$b$ натурал сан және

$b$ тақ сан болатындай,

$N={{2}^{r}}b$ натурал саны берілсін.

$\sigma \left( N \right)=2N-1$ екені белгілі.

$b$ және

$\sigma \left( b \right)$ сандары өзара жай екенін дәлелдеңіз. ( J. Dris, J. Antalan )
комментарий/решение

Есеп №7.

$ABCD$ тіктөртбұрышының

$AD$ қабырғасының созындысында,

$D$ нүктесінен кейін

$E$ нүктесі белгіленді.

$EC$ сәулесі,

$ABE$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$F$ нүктесінде қияды.

$DC$ және

$AF$ сәулелері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$E$ нүктесі арқылы өтетін

$\ell$ түзуіне,

$AF$ түзуіне параллель

$CH$ перпендикуляры салынды.

$PH$ түзуі

$\omega$ шеңберімен жанасатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

Есеп №8. Жазықтықта

$A$ және

$B$ нүктелері берілсін. Егер осы жазықтықта

$X$ нүктесінің абсциссасы

$A$ және

$B$ нүктелерінің абсциссаларының геометриялық ортасына тең болатындай, ал ординатасы

$A$ және

$B$ нүктелерінің ординаталарының геометриялық ортасына тең болатындай және

$A$ және

$B$ нүктелерінің координаталары берілген декарт координаталар жүйесінде теріс емес болса,

$X$ нүктесін осы екі нүктенің мағынасыз ортасы деп атайық.

$A$ және

$B$ нүктелерінің барлық мағынасыз орталарының геометриялық орындарын табыңыз. ( К. Тыщук )
комментарий/решение(1)

результаты