Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$O$ нүктесі

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі болсын.

$BAC$ бұрышының биссектрисасы осы шеңберді

$D$ нүктесінде, ал

$ABC$ бұрышының биссектрисасы осы шеңберді

$E$ нүктесінде қияды.

$DEO$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетіні белгілі.

$ACB$ бұрышының өлшемін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

${{x}_{1}}=0$ болатын

${{x}_{n}}~\left( n=1,2,\ldots \right)$ тізбегі берілген. Барлық бүтін

$n > 1$ үшін келесі теңдік орындалады

${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \frac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Мұнда

$\left[ a \right]$ дегеніміз

$a$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды білдіреді).

${{x}_{n}}$ саны

$n$ санына бөлінетіндей барлық

$n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Бүкіл

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$\left( x-2 \right)f\left( y \right)+f\left( y+2f\left( x \right) \right)=f\left( x+yf\left( x \right) \right)$ қатынасын қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Ғылыми конференцияға 2017 ғалым келді. Осы ғалымдардың әрқайсысы үш ғалымнан артық танымайды және таныстық өзара (

$A$

$B$ -ны таныса,

$B$

$A$ -ны таниды). Бұл конференцияда ғалымдар өздері танымайтын ғалымдардың баяндамасын тыңдағысы келеді. Әр бөлікте бір-бірін танымайтын және ғалым саны 1007-ден көп емес болатындай, ғалымдарды 4 бөлікке бөлуге болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5.

${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\ldots +{{\left( {{x}_{2016}}-{{x}_{2017}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2017}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз, мұнда

${{x}_{1}}$ ,

${{x}_{2}}$ ,

$\ldots,$

${{x}_{2017}}$ – әртүрлі бүтін сандар.
комментарий/решение(4)

Есеп №6.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$O$ – сырттай сызылған шеңбердің центрі,

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ сәйкесінше

$AC$ және

$AB$ қабырғаларының ортасы.

$A$ төбесі мен

$O$ нүктесін қамтитын, бірақ

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелері арқылы өтпейтін шеңберлердің ішінен

$\omega$ шеңберін таңдайық.

$\omega$ шеңбері

$O{{B}_{1}}$ және

$O{{C}_{1}}$ түзулерін сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қисын.

$K{{B}_{1}}$ -дің

$L{{C}_{1}}$ -ге қатынасы

$\omega$ шеңберінің таңдалуына тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)