Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает эту окружность в точке $D$, а биссектриса угла $ABC$ пересекает эту окружность в точке $E$. Известно, что окружность, описанная около треугольника $DEO$, проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Найдите величину угла $ACB$.

Комментарий/решение

$$\angle ABO=\angle OBC= \beta \Rightarrow \angle ABC = 2\beta$$

$$\angle BAO=\angle CAO= \alpha \Rightarrow \angle BAC =2\alpha$$

$$\triangle ABC: \angle ACB =\gamma (?)\Rightarrow 2\beta+2\alpha+\gamma =180^o$$

Пусть $O_1-$ центр описанной окружности остроугольного треугольника $ODE$.

$\omega$- описанная окружность треугольника $ABC$. $\Omega$- описанная окружность треугольника $DEC$.

$Т$ $Е$ $О$ $Р$ $Е$ $М$ $А$: Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

$$ \omega \cap \Omega=DE$$

$DE- $ общая хорда $ \omega $ и $ \Omega.$ $\Rightarrow DE\bot OO_1$ $\Rightarrow \left(DE\cap OO_1= Z\right) \Rightarrow \angle OZE = \angle OZD=90^o$

$$\triangle ABO: \angle BAO=\alpha, \angle ABO=\beta \Rightarrow \angle AOB=180^o-\alpha-\beta=\angle DOE $$

Предположим, что $\triangle ABC$ -правильный треугольник. $\left(AB=BC=AC\right)$ То точка пересечения биссектрис называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей. Так, как $(KN \parallel AB)$ нам нужно доказать что $ \triangle KNC \sim \triangle ABC$

$$\triangle ODE: OD=OE=R\Rightarrow \angle OED= \angle ODE = \frac{\alpha+\beta}{2}$$

$$\triangle DKA: \angle DAK= \alpha , \angle ADK=\frac{\alpha+\beta}{2}\Rightarrow\angle AKD= 180^o-\frac{3\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}\Rightarrow \angle NKC = \frac{3\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}$$

$$\triangle BNE: \angle EBN= \beta, \angle BEN=\frac{\alpha+\beta}{2}\Rightarrow \angle ENB= 180^o-\frac{3\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}\Rightarrow \angle KNC = \frac{3\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}$$

$$\triangle CKN : \angle KNC = \frac{3\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}, NKC = \frac{3\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\Rightarrow 2\beta+2\alpha+\gamma (?)=180^o\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \angle ACB= \angle KNC (KN \parallel AB) \Rightarrow \triangle KNC \sim \triangle ABC \Rightarrow \gamma=ACB=60^o$$