Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Биссектриса угла

$BAC$ пересекает эту окружность в точке

$D$ , а биссектриса угла

$ABC$ пересекает эту окружность в точке

$E$ . Известно, что окружность, описанная около треугольника

$DEO$ , проходит через центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Найдите величину угла

$ACB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дана последовательность

${{x}_{n}}~\left( n=1,2,\ldots \right)$ , в которой

${{x}_{1}}=0.$ Известно, что для всех целых

$n > 1$

${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \dfrac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Здесь

$\left[ a \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее

$a$ ). Определите все значения

$n$ , при которых

${{x}_{n}}$ делится на

$n$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Найти все функции

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , удовлетворяющие соотношению

$\left( x-2 \right)f\left( y \right)+f\left( y+2f\left( x \right) \right)=f\left( x+yf\left( x \right) \right)$ при всех

$x,y\in \mathbb{R}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. На научную конференцию прибыло 2017 ученых. Каждый из этих ученых знаком не более чем с тремя другими учеными, причем их знакомство взаимно (то есть если

$A$ знает

$B$ , то

$B$ знает

$A$ ). На этой конференции ученые хотят послушать доклады тех ученых, с которыми они еще не знакомы. Докажите, что ученых можно распределить по 4 секциям так, чтобы на каждой секции присутствовало не более 1007 ученых, причем не знакомых друг с другом.
комментарий/решение

Задача №5. Чему равно наименьшее возможное значение выражения

${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\ldots +{{\left( {{x}_{2016}}-{{x}_{2017}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2017}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}},$ где

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{2017}}$ — различные целые числа.
комментарий/решение(4)

Задача №6. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть

$O$ — центр его описанной окружности,

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ — середины сторон

$AC$ и

$AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину

$A$ и точку

$O$ , но не проходят через точки

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые

$O{{B}_{1}}$ и

$O{{C}_{1}}$ соответственно в точках

$K$ и

$L$ . Докажите, что отношение

$K{{B}_{1}}$ к

$L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.
комментарий/решение(1)