қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает эту окружность в точке $D$, а биссектриса угла $ABC$ пересекает эту окружность в точке $E$. Известно, что окружность, описанная около треугольника $DEO$, проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Найдите величину угла $ACB$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дана последовательность ${{x}_{n}}~\left( n=1,2,\ldots \right)$, в которой ${{x}_{1}}=0.$ Известно, что для всех целых $n > 1$
${{x}_{n}}={{x}_{n-1}}+\left[ \dfrac{{{n}^{2}}}{4} \right].$ (Здесь $\left[ a \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее $a$).
Определите все значения $n$, при которых ${{x}_{n}}$ делится на $n$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие соотношению $\left( x-2 \right)f\left( y \right)+f\left( y+2f\left( x \right) \right)=f\left( x+yf\left( x \right) \right)$ при всех $x,y\in \mathbb{R}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. На научную конференцию прибыло 2017 ученых. Каждый из этих ученых знаком не более чем с тремя другими учеными, причем их знакомство взаимно (то есть если $A$ знает $B$, то $B$ знает $A$). На этой конференции ученые хотят послушать доклады тех ученых, с которыми они еще не знакомы. Докажите, что ученых можно распределить по 4 секциям так, чтобы на каждой секции присутствовало не более 1007 ученых, причем не знакомых друг с другом.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Чему равно наименьшее возможное значение выражения ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\ldots +{{\left( {{x}_{2016}}-{{x}_{2017}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2017}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}},$
где ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{2017}}$ — различные целые числа.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. Дан треугольник $ABC$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину $A$ и точку $O$, но не проходят через точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые $O{{B}_{1}}$ и $O{{C}_{1}}$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите, что отношение $K{{B}_{1}}$ к $L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)