Processing math: 61%

Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс


Дана последовательность xn (n=1,2,), в которой x1=0. Известно, что для всех целых n>1 xn=xn1+[n24]. (Здесь [a] означает наибольшее целое число, не превосходящее a). Определите все значения n, при которых xn делится на n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
3 года 1 месяца назад #

Ответ:n=1;3;8m+6, где m не делится на 3.

Заметим такие факты:

x2k=x2k1+[4k24]=x2k1+k2

x2k+1=x2k+[4k2+4k+14]=x2k+k2+k. Используя это:

x2k+1=x2k1+2k2+k=...=(2k2+k)+(2(k1)2+k1)+...+(212+1)+x1=2(k2+...+12)+(k+...+1)=k(2k+1)(k+1)3+k(k+1)2=k(k+1)(4k+5)6

Понятно что: x2k=k2+(k1)k(4k+1)6. Рассмотрим 2 случая:

I)n=2k+1. Тогда если xn делится на n, то k(k+1)(4k+5) делится на 2k+1. Из чего выходит что 2k(2k+2)(4k+5) делится на 2k+1 что эквивалентно 3 делится на 2k+1. Далее перебором находим ответы.

II)n=2k. Если k=2xy, где x натуральное y нечётное, То k2 делится на 2x+1. Из чего выходит что (k1)k(4k+1)6 делится на 2x+1. Но так как (k1,2)=(4k+1,2)=1, то k6 должно делится на 2x+1, что невозможно.

Теперь можно считать k=2l+1, x_{4l+2}=4l^2+4l+1+\dfrac{(2l+1)l(8l+5)}{3} \equiv 2l+1+\dfrac{(2l+1)l(8l+5)}{3}=S \pmod4l+2 (1) . Пусть 2l+1=3^pq, где p натуральное число, п q Натуральное число которое не делится на 3. Очевидно что \dfrac{(2l+1)l(8l+5)}{3} должно делится на 3^p. Но это эквивалентна \dfrac{l}{3} делится на 3^p, (так как (3,l)=(3,8l+5)=1), что невозможно.

Значит можно считать что 2l+1 Не делится на 3. Очевидно что S Делится на 2l+1. Теперь при рассмотрении mod2 можно легко найти что l нечётно. Из этих фактов вытекает что 4l+2=8m+6, где m не делится на 3.

  2
3 года 9 месяца назад #

В 3-й строке снизу должно быть так: x_{4l+2}=4l^2+4l+1+S\equiv -2l-1+S\pmod{4l+2}.

На самом деле во втором случае ответов бесконечно много. Для этого надо рассмотреть делимость x_{4l+2} на 2, и на 2l+1 отдельно.

  2
3 года 9 месяца назад #

Спасибо что указали ошибку. Исправил.