Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности, ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Среди окружностей, которые содержат вершину $A$ и точку $O$, но не проходят через точки ${{B}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$ выберем окружность. Пусть эта окружность пересекает прямые $O{{B}_{1}}$ и $O{{C}_{1}}$ соответственно в точках $K$ и $L$. Докажите, что отношение $K{{B}_{1}}$ к $L{{C}_{1}}$ не зависит от выбора окружности.

Комментарий/решение

Пусть окружность пресекает $AB, AC$ в точкаx $M,N$ соответственно. Значит $$ \angle C_1MO = \angle B_1NO = \alpha$$

Тогда степеням точек, имеем

$$C_1L \times C_1O = C_1M \times C_1A $$

$$B_1K \times B_1O = B_1N \times B_1A $$

Оттуда

$$ \frac{LC_1}{KB_1} = \frac{C_1A}{B_1A} \times \frac{C_1M}{C_1O} \times \frac{B_1O}{B_1N} = \frac{AB}{AC} \times \frac{1}{\tan{\alpha}} \times \tan{\alpha} = \frac{AB}{AC} $$