Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
ABC үшбұрышы берілген. O – сырттай сызылған шеңбердің центрі, B1 және C1 сәйкесінше AC және AB қабырғаларының ортасы. A төбесі мен O нүктесін қамтитын, бірақ B1 және C1 нүктелері арқылы өтпейтін шеңберлердің ішінен ω шеңберін таңдайық. ω шеңбері OB1 және OC1 түзулерін сәйкесінше K және L нүктелерінде қисын. KB1-дің LC1-ге қатынасы ω шеңберінің таңдалуына тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть окружность пресекает AB,AC в точкаx M,N соответственно. Значит ∠C1MO=∠B1NO=α
Тогда степеням точек, имеем
C1L×C1O=C1M×C1A
B1K×B1O=B1N×B1A
Оттуда
LC1KB1=C1AB1A×C1MC1O×B1OB1N=ABAC×1tanα×tanα=ABAC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.