Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышы берілген. $O$ – сырттай сызылған шеңбердің центрі, ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ сәйкесінше $AC$ және $AB$ қабырғаларының ортасы. $A$ төбесі мен $O$ нүктесін қамтитын, бірақ ${{B}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері арқылы өтпейтін шеңберлердің ішінен $\omega $ шеңберін таңдайық. $\omega $ шеңбері $O{{B}_{1}}$ және $O{{C}_{1}}$ түзулерін сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде қисын. $K{{B}_{1}}$-дің $L{{C}_{1}}$-ге қатынасы $\omega $ шеңберінің таңдалуына тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть окружность пресекает $AB, AC$ в точкаx $M,N$ соответственно. Значит $$ \angle C_1MO = \angle B_1NO = \alpha$$

Тогда степеням точек, имеем

$$C_1L \times C_1O = C_1M \times C_1A $$

$$B_1K \times B_1O = B_1N \times B_1A $$

Оттуда

$$ \frac{LC_1}{KB_1} = \frac{C_1A}{B_1A} \times \frac{C_1M}{C_1O} \times \frac{B_1O}{B_1N} = \frac{AB}{AC} \times \frac{1}{\tan{\alpha}} \times \tan{\alpha} = \frac{AB}{AC} $$