Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Чему равно наименьшее возможное значение выражения ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\ldots +{{\left( {{x}_{2016}}-{{x}_{2017}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2017}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}},$ где ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{2017}}$ — различные целые числа.

Комментарий/решение

ответ 8066

рассмотрим многоугольник вершина которых лежит на соответствующих вершинах 1,3,5...2017,2016,2014,...,0

поидее 8062

4034

Ответ: $4\cdot 2017 - 6=8062.$

Докажем по индукции, что для всех $n\ge 2$

$$(x_1-x_2)^2+\ldots+(x_n-x_1)^2 \ge 4n-6 $$

Доказательство:

База очевидна.

Переход: Известно, что верно неравенство

$$(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_1)^2\ge 4n-6$$

Докажем, что $(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_{n+1})^2+(x_{n+1}-x_1)^2\ge 4n-2$.

Можно считать, что $x_{n+1}=\max_{i}x_i$. Тогда

$${(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_{n+1})^2+(x_{n+1}-x_1})^2-(4n-2)=$$

$$=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_1)^2-(4n-6)+2(x_{n+1}-x_{1})(x_{n+1}-x_n)-4\geq0.$$

Пример равенства:

Для $n=2m:$ $x_1=1,x_2=3,\ldots,x_m=2m-1,x_{m+1}=2m,x_{m+2}=2m-2,\ldots,x_{2m}=2.$

Для $n=2m+1:$ $x_1=1,x_2=3,\ldots,x_{m+1}=2m+1,x_{m+2}=2m,x_{m+3}=2m-2,\ldots,x_{2m+1}=2.$