Processing math: 58%

Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып


(x1x2)2+(x2x3)2++(x2016x2017)2+(x2017x1)2 өрнегінің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз, мұнда x1, x2,, x2017 – әртүрлі бүтін сандар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
7 года 5 месяца назад #

ответ 8066

рассмотрим многоугольник вершина которых лежит на соответствующих вершинах 1,3,5...2017,2016,2014,...,0

  0
7 года 4 месяца назад #

поидее 8062

  0
4 года 2 месяца назад #

4034

  1
4 года 2 месяца назад #

Ответ: 420176=8062.

Докажем по индукции, что для всех n2

(x1x2)2++(xnx1)24n6

Доказательство:

База очевидна.

Переход: Известно, что верно неравенство

(x1x2)2+(x2x3)2++(xnx1)24n6

Докажем, что (x1x2)2+(x2x3)2++(xnxn+1)2+(xn+1x1)24n2.

Можно считать, что xn+1=max. Тогда

{(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_{n+1})^2+(x_{n+1}-x_1})^2-(4n-2)=

=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_1)^2-(4n-6)+2(x_{n+1}-x_{1})(x_{n+1}-x_n)-4\geq0.

Пример равенства:

Для n=2m: x_1=1,x_2=3,\ldots,x_m=2m-1,x_{m+1}=2m,x_{m+2}=2m-2,\ldots,x_{2m}=2.

Для n=2m+1: x_1=1,x_2=3,\ldots,x_{m+1}=2m+1,x_{m+2}=2m,x_{m+3}=2m-2,\ldots,x_{2m+1}=2.