Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
(x1−x2)2+(x2−x3)2+…+(x2016−x2017)2+(x2017−x1)2 өрнегінің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз, мұнда x1, x2,…, x2017 – әртүрлі бүтін сандар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
ответ 8066
рассмотрим многоугольник вершина которых лежит на соответствующих вершинах 1,3,5...2017,2016,2014,...,0
Ответ: 4⋅2017−6=8062.
Докажем по индукции, что для всех n≥2
(x1−x2)2+…+(xn−x1)2≥4n−6
Доказательство:
База очевидна.
Переход: Известно, что верно неравенство
(x1−x2)2+(x2−x3)2+…+(xn−x1)2≥4n−6
Докажем, что (x1−x2)2+(x2−x3)2+…+(xn−xn+1)2+(xn+1−x1)2≥4n−2.
Можно считать, что xn+1=max. Тогда
{(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_{n+1})^2+(x_{n+1}-x_1})^2-(4n-2)=
=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+\ldots+(x_n-x_1)^2-(4n-6)+2(x_{n+1}-x_{1})(x_{n+1}-x_n)-4\geq0.
Пример равенства:
Для n=2m: x_1=1,x_2=3,\ldots,x_m=2m-1,x_{m+1}=2m,x_{m+2}=2m-2,\ldots,x_{2m}=2.
Для n=2m+1: x_1=1,x_2=3,\ldots,x_{m+1}=2m+1,x_{m+2}=2m,x_{m+3}=2m-2,\ldots,x_{2m+1}=2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.