Областная олимпиада по математике, 2017 год, 11 класс

Найти все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие соотношению $\left( x-2 \right)f\left( y \right)+f\left( y+2f\left( x \right) \right)=f\left( x+yf\left( x \right) \right)$ при всех $x,y\in \mathbb{R}$.

Комментарий/решение

Ответ: $f(x)=x-1$; $f(x)=0$.

Решение. 1. Обозначим данное уравнение через $R(x, y)$. Найдется такое $a\ne 2$, что $f(a)\ne 1$. Действительно, рассмотрим от противного $R(3, 1)$: $f(1)+1=f(4)$. Тогда либо $f(1)\ne 1$, либо $f(4)\ne 1$.

2. $R(a, \frac {a-2f(a)} {1-f(a)})$: $f(\frac {a-2f(a)} {1-f(a)})=0$, значит существует такое $c$, что $f(c)=0$. $R(c, y)$: $c=1$ или $f(y)=0,\forall y$.

3. Из 2 и 3 получаем, что $\frac {a-2f(a)} {1-f(a)}=1$, или $f(a)=a-1$. Итак для любого $a\ne 2$ имеем либо $f(a)=1$, либо $f(a)=a-1$.

4. Пусть $b\ne 2, f(b)=1$. Рассмотрим $R(b, b-2)$: $(b-2)f(b-2)+1=f(2b-2)$. Если $f(2b-2)=1$, то $f(b-2)=0, b=3$. Если $f(2b-2)=2b-3$, то $f(b-2)=2$, откуда $b=4$ или $b=5$.

5. Значит, для $x\ne 2,3,4,5$ имеем $f(x)=x-1$. Подставляя по очереди $y=2,3,4,5$ в $R(6, y)$, получаем $f(x)=x-1, \forall x$.

Ответ: $1)f(x)\equiv 0;\quad 2) f(x)\equiv x-1.$ Очевидно, что ответы подходят.

Если $f(0)=0,$ то $P(0,x):\quad f(x)=0,\forall x\in\mathbb R.$

Далее $f(0)\ne 0.$ Тогда $P(x,0):$ $$(x-2)\cdot f(0)+f(2f(x))=f(x)$$

Свойство: $f-$ инъективная функция.

Доказательство: Если $f(a)=f(b),$ то $P(a,0)-P(b,0):$ $$f(0)\cdot(a-b)=0\implies a=b.\quad\blacksquare$$

Заметим, что $P(2,y):$ $$f(y+2f(2))=f(2+y\cdot f(2))\implies (f(2)-1)(y-2)=0 $$ $$\implies f(2)=1.$$

Тогда $f(x)\ne 1,\forall x \ne 2.$ Выберем $y$ таким образом, что $$y+2f(x)=x+y\cdot f(x)\iff y=\dfrac{2f(x)-x}{f(x)-1},$$

тогда $P(x,y): (x-2)f(y)=0$ $$\implies f\left(\dfrac{2f(x)-x}{f(x)-1}\right)=0, \forall x\ne 2 $$

откуда из инъективности $\dfrac{2f(x)-x}{f(x)-1}=c-$ константа, $\forall x\ne 2.$ Следовательно $$f(x)=\dfrac{x-c}{2-c},\forall x\ne 2 $$

Т.к. $f(2)=\dfrac{2-c}{2-c}=1,$ то $$f(x)=\dfrac{x-c}{2-c},\forall x\in\mathbb R.$$

Подстановкой в условие легко понять, что $c=1\implies f(x)=x-1.\quad \square$