Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Ответ: f(x)=x−1; f(x)=0.
Решение. 1. Обозначим данное уравнение через R(x,y). Найдется такое a≠2, что f(a)≠1. Действительно, рассмотрим от противного R(3,1): f(1)+1=f(4). Тогда либо f(1)≠1, либо f(4)≠1.
2. R(a,a−2f(a)1−f(a)): f(a−2f(a)1−f(a))=0, значит существует такое c, что f(c)=0. R(c,y): c=1 или f(y)=0,∀y.
3. Из 2 и 3 получаем, что a−2f(a)1−f(a)=1, или f(a)=a−1. Итак для любого a≠2 имеем либо f(a)=1, либо f(a)=a−1.
4. Пусть b≠2,f(b)=1. Рассмотрим R(b,b−2): (b−2)f(b−2)+1=f(2b−2). Если f(2b−2)=1, то f(b−2)=0,b=3. Если f(2b−2)=2b−3, то f(b−2)=2, откуда b=4 или b=5.
5. Значит, для x≠2,3,4,5 имеем f(x)=x−1. Подставляя по очереди y=2,3,4,5 в R(6,y), получаем f(x)=x−1,∀x.
Ответ: 1)f(x)≡0;2)f(x)≡x−1. Очевидно, что ответы подходят.
Если f(0)=0, то P(0,x):f(x)=0,∀x∈R.
Далее f(0)≠0. Тогда P(x,0): (x−2)⋅f(0)+f(2f(x))=f(x)
Свойство: f− инъективная функция.
Доказательство: Если f(a)=f(b), то P(a,0)−P(b,0): f(0)⋅(a−b)=0⟹a=b.◼
Заметим, что P(2,y): f(y+2f(2))=f(2+y⋅f(2))⟹(f(2)−1)(y−2)=0 ⟹f(2)=1.
Тогда f(x)≠1,∀x≠2. Выберем y таким образом, что y+2f(x)=x+y⋅f(x)⟺y=2f(x)−xf(x)−1,
тогда P(x,y):(x−2)f(y)=0 ⟹f(2f(x)−xf(x)−1)=0,∀x≠2
откуда из инъективности 2f(x)−xf(x)−1=c− константа, ∀x≠2. Следовательно f(x)=x−c2−c,∀x≠2
Т.к. f(2)=2−c2−c=1, то f(x)=x−c2−c,∀x∈R.
Подстановкой в условие легко понять, что c=1⟹f(x)=x−1.◻
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.