Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. На доске выписаны числа 1,2,

$\ldots$ , 2016, 2017. За один шаг разрешается выбрать три идущие подряд числа

$a$ ,

$b$ и

$c$ , из которых ни одно не равно 0, и заменить их на тройку чисел

$b-1$ ,

$c-1$ ,

$a-1$ в указанном порядке. Какую наименьшую сумму записанных на доске чисел можно получить, делая такие шаги?
комментарий/решение(7)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ стороны

$AC$ и

$BC$ равны. На сторонах

$AC$ и

$BC$ выбраны соответственно такие точки

$K$ и

$L$ , что биссектрисы углов

$KLB$ и

$AKL$ пересекаются на отрезке

$AB$ в точке

$F$ . Найдите отношение

$AF:FB.$
комментарий/решение(6)

Задача №3. При каких значениях параметра

$a$ уравнение

${{x}^{2}}-3x\left[ x \right]+2x=a$ имеет ровно два различных положительных корня. (Здесь

$\left[ x \right]$ означает наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ ).
комментарий/решение(2)

Задача №4. Какое максимальное число сторон может иметь выпуклый многоугольник, которого все углы имеют целочисленную градусную меру?
комментарий/решение(3)

Задача №5. Найдите все пары целых чисел

$\left( x,y \right)$ , удовлетворяющих уравнению

${{2}^{2x+1}}+9\cdot {{2}^{x}}+5={{y}^{2}}.$
комментарий/решение(3)

Задача №6. Докажите, что для всех положительных чисел

$a,b,c$ справедливо неравенство

$\dfrac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\dfrac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\dfrac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \dfrac{1}{2}.$
комментарий/решение(8)