Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Какое максимальное число сторон может иметь выпуклый многоугольник, которого все углы имеют целочисленную градусную меру?

Комментарий/решение

Пример: Возьмем правильный 360-угольник, тогда все углы равны 179 градусам.

Оценка: Докажем, $n\leq 360$, где $n$-это количество сторон многоугольника. Сумма углов равна $180(n-2).$ Так как все углы меньше 180 и целочисленные, то наибольший угол равен 179. Значит, $180(n-2) \leq 179n$

Раскрыв скобки получим $n\leq360.$

У нас есть формула с помощью которого мы сможем узнать сколько градусов внутри этого многоугольника: 180(n-2). Чтобы узнать арифмитический центр нам нужно это все поделить на n. С этого мы получаем 180-360/n. Чтобы узнать целочисленную градусную мерунам надо найти наибольшен натуральное число n которое делиться на 360 без остатков.

Ответ : 360

Матбойдан сәлем