Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Какое максимальное число сторон может иметь выпуклый многоугольник, которого все углы имеют целочисленную градусную меру?

Комментарий/решение

Пример: Возьмем правильный 360-угольник, тогда все углы равны 179 градусам.

Оценка: Докажем, $n\leq 360$, где $n$-это количество сторон многоугольника. Сумма углов равна $180(n-2).$ Так как все углы меньше 180 и целочисленные, то наибольший угол равен 179. Значит, $180(n-2) \leq 179n$

Раскрыв скобки получим $n\leq360.$

У нас есть формула с помощью которого мы сможем узнать сколько градусов внутри этого многоугольника: 180(n-2). Чтобы узнать арифмитический центр нам нужно это все поделить на n. С этого мы получаем 180-360/n. Чтобы узнать целочисленную градусную мерунам надо найти наибольшен натуральное число n которое делиться на 360 без остатков.

Ответ : 360

Матбойдан сәлем

Если n>360, то кол во углов тоже больше 360, но их сумма 360⁰, по принципу Дирихле найдётся угол градусная мера которого между 0 и 1, что не целое

Пример для n=360 это правильный 360-угольник который Очевидно подходит

Зачем их сумма 360?

Правильней спросить почему их сумма 360?

Это моя старая ошибка, но если рассмотреть внешние углы то их сумма 360,решение аналогичное

Айдос снова на матоле)))