Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс
Комментарий/решение:
$$(а,b,c) \rightarrow (b-1,c-1,a-1)$$
$$ 1,\underbrace{2}_a,\underbrace{3}_b,\underbrace{4}_c$$
$$ 1,.,2,.3,.1$$
$$ 1,.\underbrace{2,.0,.1} \Rightarrow \mathbb{S}_1=4$$
$$1,.2,\underbrace{3}_a,.\underbrace{4}_b,.\underbrace{5}_c$$
$$...........................$$
$$ 1,.2,.\underbrace{0,.1,.2} \Rightarrow \mathbb{S}_2= 6$$
$$1,.2,.3,.\underbrace{4}_a,.\underbrace{5}_b,.\underbrace{6}_c$$
$$...........................$$
$$ 1,.2,.3,.\underbrace{2,.0,.1} \Rightarrow \mathbb{S}_3= 9$$
$$...........................$$
$$1,.2,....,n-3,\underbrace{n-2}_a,.\underbrace{n-1}_b,.\underbrace{n}_c$$
$$...........................$$
$$1,.2,.3,......,n-3, \underbrace{(0,1,2)} \Rightarrow \mathbb{S}_{min}=\frac{(n-2)(n-3)}{2}+3$$
$$1,.2,.3,.......2016,.2017 \Rightarrow \mathbb{S}_{min}=2015\cdot 1007 +3$$
Дастан а если мы применим для каждой такой тройки как:
2;3;4
5;6;7
...
2015;2016;2017
то у нас выйдет 672×3+1<2015×1007+3
Ответ: $2017$.
Решение: Легко понять, что остаток любого числа при делении на $3$ не меняется. Заметим, что из условия следует, что любое число не отрицательное. Поэтому наименьший набор который мы можем получить это
$$1,2,0,1,2,0,\ldots,1,2,0,1\implies \text{минимальная сумма} = 2017.$$
Пример: Разделим искомый ряд таким образом:
$$(1) \quad (2,3,4) \quad (5,6,7) \quad \ldots \quad (2015,2016,2017)$$
Для тройки вида $(3i+2,3i+3,3i+4)$ используем операцию $3i+2$ раз. Очевидно, что после $3i$ ходов останется $(2,3,4)$, а после $3i+1$-го и $3i+2$-го ходов получится
$$(2,3,4)\to(2,3,1)\to(2,1,0)$$
Тогда ряд $1,2,3,\ldots,2017\to 1,2,0,\ldots,1,2,0,1$ откуда сумма равна $2017.\quad \square$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.