Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып


Тақтада 1,2, , 2016, 2017 сандары жазылған. Бір қадамда ешқайсысы 0-ге тең емес үш қатар тұрған a, b және c сандарын алып, оларды осы ретпен жазылған b1, c1, a1 үштігіне ауыстыруға болады. Осындай қадамдармен тақтада жазылған сандардың қосындысының ең кіші қандай мәнін алуға болады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
8 года назад #

(а,b,c)(b1,c1,a1)

1,2a,3b,4c

1,.,2,.3,.1

1,.2,.0,.1S1=4

1,.2,3a,.4b,.5c

...........................

1,.2,.0,.1,.2S2=6

1,.2,.3,.4a,.5b,.6c

...........................

1,.2,.3,.2,.0,.1S3=9

...........................

1,.2,....,n3,n2a,.n1b,.nc

...........................

1,.2,.3,......,n3,(0,1,2)Smin=(n2)(n3)2+3

1,.2,.3,.......2016,.2017Smin=20151007+3

  0
7 года 4 месяца назад #

Дастан а если мы применим для каждой такой тройки как:

2;3;4

5;6;7

...

2015;2016;2017

то у нас выйдет 672×3+1<2015×1007+3

  0
7 года 4 месяца назад #

  0
7 года 4 месяца назад #

То есть ответ 2017?

  0
7 года 3 месяца назад #

Da

  6
4 года 2 месяца назад #

Ответ: 2017.

Решение: Легко понять, что остаток любого числа при делении на 3 не меняется. Заметим, что из условия следует, что любое число не отрицательное. Поэтому наименьший набор который мы можем получить это

1,2,0,1,2,0,,1,2,0,1минимальная сумма=2017.

Пример: Разделим искомый ряд таким образом:

(1)(2,3,4)(5,6,7)(2015,2016,2017)

Для тройки вида (3i+2,3i+3,3i+4) используем операцию 3i+2 раз. Очевидно, что после 3i ходов останется (2,3,4), а после 3i+1-го и 3i+2-го ходов получится

(2,3,4)(2,3,1)(2,1,0)

Тогда ряд 1,2,3,,20171,2,0,,1,2,0,1 откуда сумма равна 2017.

  4
4 года 2 месяца назад #

Остаток любого числа имеется ввиду, что на число i-ом месте не меняет остаток.