Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Тақтада 1,2,

$\ldots$ , 2016, 2017 сандары жазылған. Бір қадамда ешқайсысы 0-ге тең емес үш қатар тұрған

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын алып, оларды осы ретпен жазылған

$b-1$ ,

$c-1$ ,

$a-1$ үштігіне ауыстыруға болады. Осындай қадамдармен тақтада жазылған сандардың қосындысының ең кіші қандай мәнін алуға болады?
комментарий/решение(7)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$AC$ және

$BC$ қабырғалары тең.

$KLB$ және

$AKL$ бұрыштарының биссектрисалары

$AB$ кесіндісінің

$F$ нүктесінде қиылысатындай,

$AC$ және

$BC$ қабырғасынан сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелері алынған.

$AF:FB$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(6)

Есеп №3.

$a$ параметрінің қандай мәндерінде

${{x}^{2}}-3x\left[ x \right]+2x=a$ теңдеуінің дәл екі әртүрлі оң шешімі болады. (Мұнда

$\left[ x \right]$ дегеніміз

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан).
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Барлық бұрыштарының градустық өлшемі бүтін болатындай, дөңес көпбұрыштың ең көп неше қабырғасы болуы мүмкін?
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

${{2}^{2x+1}}+9\cdot {{2}^{x}}+5={{y}^{2}}$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық бүтін

$\left( x,y \right)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Барлық оң

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіз

$\frac{{{a}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ac}+\frac{{{b}^{2}}}{3{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab}+\frac{{{c}^{2}}}{3{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+2bc}\le \frac{1}{2}.$
комментарий/решение(8)