Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс
Комментарий/решение:
b_Ответ:_b $(0;4),(0;-4).$
b_Решение:_b Пусть $x>2$, тогда
$$2^{2x+1}+(2^3+1)2^x+(2^2+1)=y^2$$
$$4(2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1=(y-1)(y+1)$$
$$2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1=k(k+1)$$
$2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1$-нечетное число, а k(k+1)-четное, противоречие.
пусть $x\leq-2$, тогда
$$\dfrac{1}{2^{|2x+1|}}+\dfrac{9}{2^{|x|}}+5=y^2$$
$$\dfrac{(1+9*2^{x+1}+5*2^{|2x+1|})}{2^{|2x+1|}}$$
$\dfrac{(1+9*2*2^x+5*2^{|2x+1|})}{2^{|2x+1|}}$-не целое число
Проверяя остальные значения x=-1,0,1,2 убедимся что, подходит только $x=0$, и $у=-4;4$.
$y$ нечетное легко заметить
пусть $3\leq {x}$ тогда правое неравенство дает $\equiv 5\pmod {9}$ а $y^2 \equiv 1 \pmod{9}$ что означает $x\leq 2$ пусть $x\leq-2$ тогда заметим что $ \frac{1+2^x*2*9+5*2^x*2^x*2} {2^x*2^x*2}$ заметим что верхнее значение нечетное а нижнее четное что означает его нельзя сократить до целого откуда при $x\leq-2$ нету решений разбирая оставщиеся варианты у нас выходит $x=0,y=4,-4$
это единственные ответы
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.