Областная олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

Найдите все пары целых чисел $\left( x,y \right)$, удовлетворяющих уравнению ${{2}^{2x+1}}+9\cdot {{2}^{x}}+5={{y}^{2}}.$

Комментарий/решение

b_Ответ:_b $(0;4),(0;-4).$

b_Решение:_b Пусть $x>2$, тогда

$$2^{2x+1}+(2^3+1)2^x+(2^2+1)=y^2$$

$$4(2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1=(y-1)(y+1)$$

$$2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1=k(k+1)$$

$2^{2x-1}+2^{x+1}+2^{x-2}+1$-нечетное число, а k(k+1)-четное, противоречие.

пусть $x\leq-2$, тогда

$$\dfrac{1}{2^{|2x+1|}}+\dfrac{9}{2^{|x|}}+5=y^2$$

$$\dfrac{(1+9*2^{x+1}+5*2^{|2x+1|})}{2^{|2x+1|}}$$

$\dfrac{(1+9*2*2^x+5*2^{|2x+1|})}{2^{|2x+1|}}$-не целое число

Проверяя остальные значения x=-1,0,1,2 убедимся что, подходит только $x=0$, и $у=-4;4$.

$y$ нечетное легко заметить

пусть $3\leq {x}$ тогда правое неравенство дает $\equiv 5\pmod {9}$ а $y^2 \equiv 1 \pmod{9}$ что означает $x\leq 2$ пусть $x\leq-2$ тогда заметим что $ \frac{1+2^x*2*9+5*2^x*2^x*2} {2^x*2^x*2}$ заметим что верхнее значение нечетное а нижнее четное что означает его нельзя сократить до целого откуда при $x\leq-2$ нету решений разбирая оставщиеся варианты у нас выходит $x=0,y=4,-4$

это единственные ответы

Расмотрим 3 случай

1)$x<0$

2)$x=0$

3)$x>2$

Теперь докажем.

1)Если $x<0$ тогда степень двойки нецелое.Значит $y$ тоже нецелое.Но по условию $y$ целое.

2)$x=0$ Подходят.Значит ответ $(x;y)=(0;4),(0;-4)$

3)Когда $x>2$ расмотрим по мод 8.Понятно что $2^2x+1 \equiv 0 \pmod {8}$ и $9 \times 2^x \equiv 0 \pmod {8}$А пять дает остаток пять.Суммируем $0+0+5 \equiv y^2 \equiv 1 \pmod {8}$Но это невозможно.Теперь осталось смотреть когда $x=1;2$.Оба случаев без ответа.Значит ответ: $(x;y)=(0;4),(0;-4)$

Понятно что если $x<0$ решение нету

При $x=0, y=±4$

А при $x=1$ решение нету

А при $x=2$ решение нету

Стало быть $x≥3$. Тогда LHS $\equiv 5 \equiv y² \pmod{8}$ что невозможно

У вас ошибка при х=2