Processing math: 69%

Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып


22x+1+92x+5=y2 теңдеуін қанағаттандыратын барлық бүтін (x,y) жұптарын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
8 года 3 месяца назад #

b_Ответ:_b (0;4),(0;4).

b_Решение:_b Пусть x>2, тогда

22x+1+(23+1)2x+(22+1)=y2

4(22x1+2x+1+2x2+1=(y1)(y+1)

22x1+2x+1+2x2+1=k(k+1)

22x1+2x+1+2x2+1-нечетное число, а k(k+1)-четное, противоречие.

пусть x2, тогда

12|2x+1|+92|x|+5=y2

(1+92x+1+52|2x+1|)2|2x+1|

(1+922x+52|2x+1|)2|2x+1|-не целое число

Проверяя остальные значения x=-1,0,1,2 убедимся что, подходит только x=0, и у=4;4.

пред. Правка 2   2
6 года 5 месяца назад #

  5
2 года 3 месяца назад #

y нечетное легко заметить

пусть 3x тогда правое неравенство дает \equiv 5\pmod {9} а y^2 \equiv 1 \pmod{9} что означает x\leq 2 пусть x\leq-2 тогда заметим что \frac{1+2^x*2*9+5*2^x*2^x*2} {2^x*2^x*2} заметим что верхнее значение нечетное а нижнее четное что означает его нельзя сократить до целого откуда при x\leq-2 нету решений разбирая оставщиеся варианты у нас выходит x=0,y=4,-4

это единственные ответы