Математикадан облыстық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
b_Ответ:_b (0;4),(0;−4).
b_Решение:_b Пусть x>2, тогда
22x+1+(23+1)2x+(22+1)=y2
4(22x−1+2x+1+2x−2+1=(y−1)(y+1)
22x−1+2x+1+2x−2+1=k(k+1)
22x−1+2x+1+2x−2+1-нечетное число, а k(k+1)-четное, противоречие.
пусть x≤−2, тогда
12|2x+1|+92|x|+5=y2
(1+9∗2x+1+5∗2|2x+1|)2|2x+1|
(1+9∗2∗2x+5∗2|2x+1|)2|2x+1|-не целое число
Проверяя остальные значения x=-1,0,1,2 убедимся что, подходит только x=0, и у=−4;4.
y нечетное легко заметить
пусть 3≤x тогда правое неравенство дает \equiv 5\pmod {9} а y^2 \equiv 1 \pmod{9} что означает x\leq 2 пусть x\leq-2 тогда заметим что \frac{1+2^x*2*9+5*2^x*2^x*2} {2^x*2^x*2} заметим что верхнее значение нечетное а нижнее четное что означает его нельзя сократить до целого откуда при x\leq-2 нету решений разбирая оставщиеся варианты у нас выходит x=0,y=4,-4
это единственные ответы
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.