Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Нақты

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандары үшін

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{xy}{{{z}^{2}}}+\dfrac{yz}{{{x}^{2}}}+\dfrac{zx}{{{y}^{2}}}=3$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$ABCD$ шаршысының

$AB$ қабырғасынан

$AB:AE=\sqrt{2}$ болатындай

$E$ нүктесі алынған.

$BED$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер,

$B$ нүктесінен өтетін

$BD$ түзуіне перпендикуляр түзуді

$F$ нүктесінде қияды.

$ABF$ үшбұрышы теңбүйірлі екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Дөңгелек пішінді аралдың жағалық сызығының бойында 2016 шамшырақ орналасқан. Ұқыпсыз шенеунік қарқынды қызмет істеп жүргенін көрсеткісі келіп, күнде тәуекелдеп үш қатар орналасқан немесе біреуден кейін орналасқан үш шамшырақтың күйін ауыстырады (яғни ABABA тізбегінде ол A шамшырақтарының күйін ауыстырады). Егер барлық шамшырақ өшіп қалса, онда шенеунік жұмысынан босатылады. Егер бір мезетте бір ғана шамшырақ жанбағаны оның есінде болса, оған өз орны үшін қорқу керек па? (Шамшырақтың күйін өзгерту деген, ол шамшырақ өшіп тұрса оны қосу, немесе керісінше.)
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$AD$ қабырғасының ортасы болатын

$M$ нүктесі

$BC$ қабырғасына жүргізілген орта перпендикулярда жатыр.

$M$ нүктесі

$\overset\frown{AB}$ және

$\overset\frown{CD}$ доғаларының ортасынан бірдей қашықтықта екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x+xy+2y$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық бүтін

$\left( x,y \right)$ жұптарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Ірі аудармашылар конференциясында кейбірі бірнеше тіл біледі. Қазақ тілін 2016 аудармашы, орыс тілін — 2016 аудармашы, және ағылшын тілін 2016 аудармашы білетіні белгілі.

$p$ -ның қандай мәндерінде, осы топтың ішінен әрқашанда дәл

$p$ қазақша білетін, дәл

$p$ орысша білетін және дәл

$p$ ағылшынша білетін бірнеше аудармашыны таңдауға болады?
комментарий/решение(1)