Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс
На стороне AB квадрата ABCD выбрана точка E так, что AB:AE=√2. Описанная окружность треугольника BED вторично пересекает прямую, проходящую через точку B перпендикулярно BD, в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть AE=1. Тогда AD=AB=AE⋅√2=√2. Из вписанности четырехугольника BEDF имеем: ∠DFE=∠DBA=45∘, а также ∠DEF=∠DBF=90∘. Значит, треугольник DEF равнобедренный, так как он прямоугольный и один из острых углов равен 45∘, откуда DE=EF. По теореме Пифагора имеем: BD=AB√2=2, ED=√1+2=√3, DF=DE√2=√6, BF=√DF2−BD2=√6−4=√2. Получается, что оба отрезка AB и BF равны √2, то есть ABF равнобедренный.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.