Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс


На стороне AB квадрата ABCD выбрана точка E так, что AB:AE=2. Описанная окружность треугольника BED вторично пересекает прямую, проходящую через точку B перпендикулярно BD, в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2 | проверено модератором
7 года 7 месяца назад #

Пусть AE=1. Тогда AD=AB=AE2=2. Из вписанности четырехугольника BEDF имеем: DFE=DBA=45, а также DEF=DBF=90. Значит, треугольник DEF равнобедренный, так как он прямоугольный и один из острых углов равен 45, откуда DE=EF. По теореме Пифагора имеем: BD=AB2=2, ED=1+2=3, DF=DE2=6, BF=DF2BD2=64=2. Получается, что оба отрезка AB и BF равны 2, то есть ABF равнобедренный.

  0
7 года 4 месяца назад #

Так как четурехугольник BEDF описанный то <AED=<BFD поэтому треугольники AED и BFD подобны по углам. Тогда

2=ADAE=BDBF=2ADBF

BF=AD=AB