Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс

Задача №1. Вещественные числа $x,$ $y,$ $z$ таковы, что $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Докажите, что $\frac{xy}{{{z}^{2}}}+\frac{yz}{{{x}^{2}}}+\frac{zx}{{{y}^{2}}}=3.$
комментарий/решение(4)

Задача №2. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AB:AE=\sqrt{2}$. Описанная окружность треугольника $BED$ вторично пересекает прямую, проходящую через точку $B$ перпендикулярно $BD$, в точке $F$. Докажите, что треугольник $ABF$ равнобедренный.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Вдоль береговой линии острова, имеющего форму круга, расположены 2016 маяков. Нерадивый чиновник, изображая бурную деятельность, каждый день наудачу меняет состояние трех маяков, либо подряд расположенных, либо идущих через один (т. е. в последовательности ABABA он меняет состояние маяков A). Чиновник будет уволен, если в какой-то момент все маяки погаснут. Стоит ли ему опасаться за свое место, если он припоминает, что в какой-то момент не горел только один маяк? (Поменять состояние маяка, значит включить его, если он выключен, и наоборот.)
комментарий/решение(1)

Задача №4. Середина $M$ стороны $AD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Докажите, что $M$ равноудалена от середин дуг $\widehat{AB},$ и $\widehat{CD}$.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все пары целых чисел $\left( x,y \right),$ удовлетворяющих уравнению ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x+xy+2y.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. На крупной конференции переводчиков некоторые знают по несколько языков. Известно, что казахский знают 2016 переводчиков, русский — 2016 переводчиков, и английский знают тоже 2016 переводчиков. При каких натуральных значениях $p$ из этой группы всегда можно выбрать несколько переводчиков, чтобы среди них было ровно $p$ знающих казахский, ровно $p$ знающих русский и ровно $p$ знающих английский?
комментарий/решение(1)