Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс


Найдите все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющих уравнению x2+y2=2x+xy+2y.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2 | проверено модератором
7 года 7 месяца назад #

x2+y2=2x+xy+2y

2x2+2y2=4x+2xy+4y

(x22xy+y2)+(x24x+4)+(y24y+4)=8

(xy)2+(x2)2+(y2)2=8

Рассмотрим выражение (x2)2, которое не больше 8. Поэтому |x2| может принимать только одно из значении 0, 1 или 2. При остальных значениях |x2| его квадрат будет не меньше 9. При этом, для каждого найденного x, y можно будет найти решив квадратное уравнение относительно y. Перебирая случаи, найдет нижеуказанные ответы.

(0;0),(0;2),(2;0),(2;4),(4;2),(4;4)