Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс
Найдите все пары целых чисел (x,y), удовлетворяющих уравнению x2+y2=2x+xy+2y.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x2+y2=2x+xy+2y
2x2+2y2=4x+2xy+4y
(x2−2xy+y2)+(x2−4x+4)+(y2−4y+4)=8
(x−y)2+(x−2)2+(y−2)2=8
Рассмотрим выражение (x−2)2, которое не больше 8. Поэтому |x−2| может принимать только одно из значении 0, 1 или 2. При остальных значениях |x−2| его квадрат будет не меньше 9. При этом, для каждого найденного x, y можно будет найти решив квадратное уравнение относительно y. Перебирая случаи, найдет нижеуказанные ответы.
(0;0),(0;2),(2;0),(2;4),(4;2),(4;4)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.