Processing math: 100%

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс


Вещественные числа x, y, z таковы, что 1x+1y+1z=0. Докажите, что xyz2+yzx2+zxy2=3.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

  2 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

Тоже самое yz+xy+zxxyz=0 , тогда доказуемое равно (xy)3+(yz)3+(xz)3(xyz)2=3 , замена yz=a, xy=b, zx=c получим a+b+c=0 второе запишется как S=(a+b+c)33(a+b)(b+c)(a+c)abc=3(a+b)(b+c)(a+c)abc учетом того что a+b+c=0

Воспользуемся тождеством (ab+ac+bc)(a+b+c)abc=(a+b)(b+c)(a+c) или в данном случае abc=(a+b)(b+c)(a+c) , подставляя S=3abcabc=3 чтд .

  2 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

 Алмастыру: 1x=1y1z;1x2=1y2+2yz+1z2,x=yzz+yx(yz2+zy2)+1x2yz=3yzy+z(yz2+zy2)+(1y2+2yz+1z2)yz=3yzy+z(y3+z3z2y2)+(z2+2yz+y2z2y2)yz=3y2yz+z2yz+z2+2yz+y2yz=30=0 теңдік дәлелденді.

  3
7 года 11 месяца назад #

1x=a,1y=b,1z=ca+b+c=0

a+b=ca3+b3+3ab(a+bc)=c3

a3+b3+c3=3abc1x3+1y3+1z3=3xyz

yzx2+xyz2+xzy2=3