Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс

Середина $M$ стороны $AD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Докажите, что $M$ равноудалена от середин дуг $\widehat{AB},$ и $\widehat{CD}$.

Комментарий/решение

Положим что $N$ - середина стороны $BC$ , так $MN$ - отрезок серединного перпендикуляра , тогда $BM=CM$ (Равнобедренный) , значит $O$ центр данной окружности, будет лежат на прямой $MN$ , $M$ Середина $AD$ значит следует что $OM \perp AD$ , но тогда $BC || AD$ которое не обязательно , стало быть $M$ есть точка $O$. Значит $AD$ Диаметр данной окружности. Откуда $BM=AM=CM=DM$ , откуда и следует утверждение задачи .