Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып

Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $AD$ қабырғасының ортасы болатын $M$ нүктесі $BC$ қабырғасына жүргізілген орта перпендикулярда жатыр. $M$ нүктесі $\overset\frown{AB}$ және $\overset\frown{CD}$ доғаларының ортасынан бірдей қашықтықта екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Положим что $N$ - середина стороны $BC$ , так $MN$ - отрезок серединного перпендикуляра , тогда $BM=CM$ (Равнобедренный) , значит $O$ центр данной окружности, будет лежат на прямой $MN$ , $M$ Середина $AD$ значит следует что $OM \perp AD$ , но тогда $BC || AD$ которое не обязательно , стало быть $M$ есть точка $O$. Значит $AD$ Диаметр данной окружности. Откуда $BM=AM=CM=DM$ , откуда и следует утверждение задачи .