Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 8 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Өтірікшілер мен серілер аралында математикадан тестілеуді 100 оқушы өтті, олардың әрқайсысы әрқашанда шындық айтатын серілер, немесе әрқашанда өтірік айтатын өтірікшілер. Тестілеуден кезекпен шыға тұра алғашқы 60 оқушы келесіні айтты: «Дәрісханада қалған оқушылардың ішінен өтірікшілер серілерден көп». Қанша сері тестілеуден өтті?
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\nabla$ амалы барлық бүтін

$n$ саны үшін келесі түрмен анықталған,

$\nabla n=n-1$ , егер

$n$ — тақ сан, және

$\nabla n={{n}^{2}}-1$ , егер

$n$ — жұп сан. Мысалы,

$\nabla 15=14$ ,

$\nabla \left( -6 \right)=35$ .

$\nabla \left( \nabla n \right)=3$ теңдігі қандай бүтін

$n$ сандары үшін орындалады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ төбесінен

$B$ және

$C$ төбелерінің биссектрисаларына сәйкесінше

$AP$ және

$AQ$ перпендикулярлары түсірілген.
а)

$PQ$ кесіндісі

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасына параллель екенін дәлелдеңіз.
б) Егер

$BC=a$ ,

$AC=b$ ,

$AB=c$ болса,

$PQ$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Әрқайсысы басқа дәл төртеуін суретке түсіре алатындай, алаңға алты суретке түсірушілерді орналастыруға болама? (

$A$ және

$B$ суретке түсірушілері бір-бірін суретке түсіре алады, егер

$AB$ кесіндісінде басқа суретке түсіруші жоқ болса.)
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Үш сан

${{n}^{2}}-10n+23$ ,

${{n}^{2}}-9n+31$ және

${{n}^{2}}-12n+46$ жай сан болатындай барлық натурал

$n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Кез келген екі апельсиннің арасында кем дегенде екі алма болатындай, қатарға 4 апельсин мен 15 алманы қанша әртүрлі тәсілмен орналастыруға болады (барлық апельсиндер және алмалар бірдей)?
комментарий/решение(5)