Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 8 класс
а) Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне BC треугольника ABC.
б) Вычислите длину отрезка PQ, если BC=a, AC=b, AB=c.
Комментарий/решение:
Обозначим пересечение биссектрис как N , тогда AQNP вписанный следует из условия.
a)Требуется доказать что ∠BCQ=∠PQC=∠C2 откуда будет следовать что BC||PQ .
Найдем ∠PQC=∠PAN=90∘−(∠ANP)=90∘−(180∘−∠A2−(180∘−∠A−∠B2))=90−∠A+∠B2=∠C2 , значит BC||PQ.
б) Продлим биссектрисы углов, до пересечения со сторонами AC,AB и положим что точки пересечения равны X,Y соответственно, так как BC||PQ получим что треугольники BYP, XQP равнобедренные . Тогда QY+YX=CX и XP+YX=BY суммируя получим QP=BY+CX−YX либо что тоже самое QP=c−AY+b−AX−YX=b+c−(AY+AX+YX)=b+c+PXYA(1) , так как треугольники XYA,ABC подобны , то PXYAa+b+c=AYc=c−BYc выражая PXYA и подставляя в (1) , получим QP=b+c−(c−BY)(a+b+c)c. Из равнобедренного треугольника BYP , получим BP=2BY⋅cosB2 , но из прямоугольного треугольника ABP получим BP=c⋅cosB2 откуда BY=c2 значит QP=b+c−(c−c2)(a+b+c)c=b+c−a2
Ответ QP=b+c−a2 .
Продолжим AP и AQ до пересечения с BC в M и N соответственно. Тогда в треугольнике AMB отрезок AP является и высотой и биссектрисой, а значит и медианой. Также BA=BM. В треугольнике ANC аналогично получим, что Q - середина AN и CA=CN. Из всего вышеперечисленного PQ - средняя линия △AMN, которая параллельна BC и равна MN2. MN=BM+CN−BC=AB+AC−BC, откуда PQ=b+c−a2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.