Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 8 класс


Из вершины A треугольника ABC проведены перпендикуляры AP и AQ к биссектрисам углов этого треугольника при вершинах B и C соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне BC треугольника ABC.
б) Вычислите длину отрезка PQ, если BC=a, AC=b, AB=c.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5 | проверено модератором
8 года 3 месяца назад #

Обозначим пересечение биссектрис как N , тогда AQNP вписанный следует из условия.

a)Требуется доказать что BCQ=PQC=C2 откуда будет следовать что BC||PQ .

Найдем PQC=PAN=90(ANP)=90(180A2(180AB2))=90A+B2=C2 , значит BC||PQ.

б) Продлим биссектрисы углов, до пересечения со сторонами AC,AB и положим что точки пересечения равны X,Y соответственно, так как BC||PQ получим что треугольники BYP, XQP равнобедренные . Тогда QY+YX=CX и XP+YX=BY суммируя получим QP=BY+CXYX либо что тоже самое QP=cAY+bAXYX=b+c(AY+AX+YX)=b+c+PXYA(1) , так как треугольники XYA,ABC подобны , то PXYAa+b+c=AYc=cBYc выражая PXYA и подставляя в (1) , получим QP=b+c(cBY)(a+b+c)c. Из равнобедренного треугольника BYP , получим BP=2BYcosB2 , но из прямоугольного треугольника ABP получим BP=ccosB2 откуда BY=c2 значит QP=b+c(cc2)(a+b+c)c=b+ca2

Ответ QP=b+ca2 .

  0
8 месяца 20 дней назад #

Продолжим AP и AQ до пересечения с BC в M и N соответственно. Тогда в треугольнике AMB отрезок AP является и высотой и биссектрисой, а значит и медианой. Также BA=BM. В треугольнике ANC аналогично получим, что Q - середина AN и CA=CN. Из всего вышеперечисленного PQ - средняя линия AMN, которая параллельна BC и равна MN2. MN=BM+CNBC=AB+ACBC, откуда PQ=b+ca2.