Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 8 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Тестирование по математике на острове лжецов и рыцарей проходили 100 учеников, каждый из которых либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Первые 60 учеников, по очереди выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем рыцарей». Сколько рыцарей проходило тестирование?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Операция ∇ определена для всех целых чисел n так, что ∇n=n−1, если n — нечётное число, и ∇n=n2−1, если n — чётное число. Например, ∇15=14, ∇(−6)=35. При каких целых n выполняется равенство ∇(∇n)=3.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Из вершины A треугольника ABC проведены перпендикуляры AP и AQ к биссектрисам углов этого треугольника при вершинах B и C соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне BC треугольника ABC.
б) Вычислите длину отрезка PQ, если BC=a, AC=b, AB=c.
комментарий/решение(2)
а) Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне BC треугольника ABC.
б) Вычислите длину отрезка PQ, если BC=a, AC=b, AB=c.
комментарий/решение(2)
Задача №4. Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы A и B могут сфотографировать друг друга, если на отрезке AB нет других фотографов.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все натуральные числа n такие, что три числа n2−10n+23, n2−9n+31 и n2−12n+46 являются простыми числами.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Сколькими различными способами можно выложить в ряд 4 апельсина и 15 яблок так, чтобы между любыми двумя апельсинами оказалось не менее двух яблок (все апельсины и яблоки одинаковые)?
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)