Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 8 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Тестирование по математике на острове лжецов и рыцарей проходили 100 учеников, каждый из которых либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Первые 60 учеников, по очереди выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем рыцарей». Сколько рыцарей проходило тестирование?
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Операция определена для всех целых чисел n так, что n=n1, если n — нечётное число, и n=n21, если n — чётное число. Например, 15=14, (6)=35. При каких целых n выполняется равенство (n)=3.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Из вершины A треугольника ABC проведены перпендикуляры AP и AQ к биссектрисам углов этого треугольника при вершинах B и C соответственно.
а) Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне BC треугольника ABC.
б) Вычислите длину отрезка PQ, если BC=a, AC=b, AB=c.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы A и B могут сфотографировать друг друга, если на отрезке AB нет других фотографов.)
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все натуральные числа n такие, что три числа n210n+23, n29n+31 и n212n+46 являются простыми числами.
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Сколькими различными способами можно выложить в ряд 4 апельсина и 15 яблок так, чтобы между любыми двумя апельсинами оказалось не менее двух яблок (все апельсины и яблоки одинаковые)?
комментарий/решение(5)