Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 8 класс

Тестирование по математике на острове лжецов и рыцарей проходили 100 учеников, каждый из которых либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Первые 60 учеников, по очереди выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем рыцарей». Сколько рыцарей проходило тестирование?

Комментарий/решение

Ответ: 50 рыцарей.

Решение:

Пусть рыцарей не менее 51. Все они остаться не могли, поскольку осталось ровно 40 человек. Но первый рыцарь, который вышел, сказал правду, следовательно, после его выхода в аудитории должен находиться как минимум 51 лжец. Полученное противоречие доказывает, что рыцарей не более 50.

Пусть лжецов не менее 51. Все они остаться не могли, поскольку осталось ровно 40 человек. Но первый лжец, который вышел, произнёс ложь, следовательно, после его выхода в аудитории должны находиться как минимум 50 рыцарей. Полученное противоречие доказывает, что лжецов не более 50.

Так как рыцарей не более 50, и лжецов не более 50, стало быть и тех, и других - поровну.

Мне тут форумчане замечание сделали (и правильно!), что в решении отсутствует пример, реализующий описанную ситуацию.

Привожу пример: рыцари и лжецы выходят из аудитории по очереди (сначала рыцарь, затем лжец, затем снова рыцарь и т. д.).