Математикадан аудандық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 8 сынып

Өтірікшілер мен серілер аралында математикадан тестілеуді 100 оқушы өтті, олардың әрқайсысы әрқашанда шындық айтатын серілер, немесе әрқашанда өтірік айтатын өтірікшілер. Тестілеуден кезекпен шыға тұра алғашқы 60 оқушы келесіні айтты: «Дәрісханада қалған оқушылардың ішінен өтірікшілер серілерден көп». Қанша сері тестілеуден өтті?

Комментарий/решение

Ответ: 50 рыцарей.

Решение:

Пусть рыцарей не менее 51. Все они остаться не могли, поскольку осталось ровно 40 человек. Но первый рыцарь, который вышел, сказал правду, следовательно, после его выхода в аудитории должен находиться как минимум 51 лжец. Полученное противоречие доказывает, что рыцарей не более 50.

Пусть лжецов не менее 51. Все они остаться не могли, поскольку осталось ровно 40 человек. Но первый лжец, который вышел, произнёс ложь, следовательно, после его выхода в аудитории должны находиться как минимум 50 рыцарей. Полученное противоречие доказывает, что лжецов не более 50.

Так как рыцарей не более 50, и лжецов не более 50, стало быть и тех, и других - поровну.

Мне тут форумчане замечание сделали (и правильно!), что в решении отсутствует пример, реализующий описанную ситуацию.

Привожу пример: рыцари и лжецы выходят из аудитории по очереди (сначала рыцарь, затем лжец, затем снова рыцарь и т. д.).