Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ — три различные нечетные цифры. Известно, что

$s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ — трёхзначное число. Найдите

$s$ . Через

$\overline{abc}$ обозначается число, десятичная запись которого состоит из цифр

$a, b, c$ в указанном порядке.
комментарий/решение(2)

Задача №2. На стороне

$BC$ равностороннего треугольника

$ABC$ построена полуокружность, лежащая вне треугольника. На ней выбраны точки

$D$ и

$E$ так, что

$BD=DE=EC$ . Докажите, что отрезки

$AD$ и

$AE$ делят сторону

$BC$ на три равные части.
комментарий/решение(1)

Задача №3. В математическом соревновании, на котором предлагается решить 4 задачи, принимают участие 25 школьников, Каждая задача оценивается только как решенная или нерешенная (частичные решения не рассматриваются). Докажите, что либо найдутся 4 участника, которые решили одни и те же задачи (или все четверо не решили ни одной), либо 2 участника, каждый из которых решил те, и только те задачи, которые не решил другой.
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любых натуральных

$n>1$ и

$k>1$ число

$n^{k+2}-n^k$ делится на 12.
комментарий/решение(2)

Задача №5. Сумма положительных чисел

$x, y, z$ равна 2. Докажите, что выполняется неравенство

$\frac{1} {x} + \frac{1} {y} + \frac{1} {z} + \frac{9} {4} \leq \frac{1} {{x^2 }} + \frac{1} {{y^2 }} + \frac{1} {{z^2 }}.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Докажите, что на плоскости существует 2011 различных точек, не лежащие все на одной прямой, все попарные расстояния между которыми – натуральные числа.
комментарий/решение(2)